代數學

代 數 (Algebra)

一、前言

        「代數」是研究數、數量、關係與結構的數學分支，當中可大致分為初等代數學和抽象代數學兩部分。

初等代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什麼，以及了解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。

抽象代數的研究對象不僅是數字，而是各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構類型有群、環、域、模、線性空間等。

二、歷史發展

u  西元前1800年左右：舊巴比倫斯特拉斯堡泥板書中記述其尋找著二次橢圓方程的解法。

u  西元前800年左右：印度數學家包德哈亞那在其著作包德哈爾那繩法經中以代數方法找到了勾股數，給出了線性方程和如ax² = c 與 ax² + bx = c 等形式之二次方程的幾何解法，且找出了兩組丟番圖方程組的正整數解。

u  西元前300年左右：在幾何原本的第二卷裡，歐幾里德給出了有正實數根之二次方程的解法，使用尺規作圖的幾何方法。此一方法是基於幾何學中的畢達哥拉斯學派。

u  西元前100年左右：中國數學書《九章算術》中處理了代數方程的問題，其包括用試位法解線性方程、二次方程的幾何解法及用相當於現今所用之消元法來解線性方程組。還應用一次內插法。

u  西元200年左右：希臘化巴比倫數學人丟番圖，他居住於埃及且常被認為是「代數之父」，寫有一本著名的算術，此書為論述代數方程的解法及數論之作。

u  西元625年左右：中國數學家王孝通在《緝古算經》找出了三次方程的數值解。

u  西元850年左右：印度數學家摩訶吠羅解出了許多二次、三次、四次、五次及更高次方程，以及不定二次、三次和更高次方程的解。

u  西元1050年左右：中國數學家賈憲用賈憲三角形找到了多項式方程的數值解。

u  西元1090年左右，北宋科學家沈括在《夢溪筆談》中給出高階等差級數的和。

u  西元1202年：代數傳到了歐洲，斐波那契所著的計算之書對此有很大的貢獻。

u  西元1247年 南宋數學家秦九韶在《數書九章》中用秦九韶演算法（即「霍納法演算法」）解一元高次方程。

u  西元1400年左右：印度數學家瑪達瓦找到了以重複來求超越方程的解法，求非線性方程解的疊代法及微分方程的解法。

u  西元1682年：萊布尼茨發展出他稱做一般性特徵(characteristica generalis)之形式規則的符號操作概念。

u  西元1693年： 萊布尼茨使用矩陣和行列式解出了線性方程組的解。

u  高斯在十八世紀証明了代數基本定理。

u  西元1824年：挪威數學家阿貝爾証明了不能用根式求解一般五次方程

u  西元1832年：法國數學家伽羅瓦﹝1811-1832﹞在運用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數方程的可能性問題。他是第一個提出「群」的思想的數學家，一般稱他為近世代數的創始人。他使代數學由作為解方程的科學轉變為研究代數運算結構的科學，即把代數學由初等代數時期推向抽象代數即近世代數時期。

三、代數學之父—韋達 (Francois Vieta)

1540年，韋達出生於法國普瓦圖(Poitou)地區豐特奈－勒孔特。

      1560年，普瓦捷大學畢業後成為律師，後任過巴黎行政法院審查官，皇 家私人律師和最高法院律師。

         1579年，著作《應用三角形的數學定律》給出精確到5位和10位小數的6種三角函數表及造表方法，發現正切定律、和差化積等三角公式，給出球面三角形的完整公式及記憶法則。

       1591年出版了最早的符號代數名著《分析方法入門》，對代數學加以系統的整理，並第一次自覺地使用字母來表示未知數和已知數，還使用它們當做一般係數。他用B、C、D等輔音字母表示已知量，用A、E、I等元音字母表示未知量，把現在的式子a ³ + 3 a² b + 3 a b² + b³ = (a + b)³ 寫成

使代數學的形式更抽象，應用更廣泛。用代數方法解幾何問題的想法，給笛卡兒很大的啟發。

        1593年，韋達效法阿基米德，以外切和內接多邊形計算出圓周率的下限和上限為 3.1415926535 和 3.1415926536 。為了計算圓周率的上下限，他將兩個六邊形的邊數倍增十六次，計算出兩個 393, 216 邊形的周長，韋達的圓周率精確到十個小數位，是有史以來最準確的圓周率值。但他還有項更傑出的成就----以無窮乘積敘述圓周率，他把π成無限個因式的乘積的形式：

這是第一個計算π值的解析式。

          1603年2月23日卒於巴黎。

　 1615年出版《截角術》，給出sinnx和cosnx的 展開式；《 論方程的識別與訂正》，改進了三、四次方程的解法，給出三次方程不可約情形的一個三角學的解法，記載了著名的韋達定理（方程根與系數的關係式）。

        丟番圖是希臘數學家，在二次方程式有傑出的貢獻，並將西臘人已完成的代數成果加以匯集編目，被譽為代數學的鼻組。希臘數學自畢達哥拉斯學派後，數學重心就在幾何，他們認為只有經過幾何論證的命題才是可靠的。為了邏輯的嚴密性，代數也披上了幾何的外衣。一切代數問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入了幾何的模式之中。直到丟番圖，才把代數解放出來，擺脫了幾何的羈絆。他認為代數方法比幾何的演繹陳述更適合於解決問題，而在解題的過程中顯示出的高度的巧思和獨創性，在希臘數學中獨樹一幟。他被後人稱為『代數學之父』實至名歸。

四、結尾

       

        初等代數的中心內容是解分程式，因而長期以來都把代數學理解成方程式的科學，數學家們也把主要精力集中在方程式的研究上。

五、資料引述

        1.代數—維基百科

        2.有關數學的100個觀念 (邢豔 編著)

        3.代數學之父